Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：；

（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）的最大值為，的最小值為1

【解析】

（1）當時，對函數(shù)進行求導，利用導數(shù)可以求出函數(shù)的最小值，利用奇偶性再進行判斷即可；

（2）化簡，不等式可以轉(zhuǎn)化為：，，令，求導，根據(jù)的不同取值，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，最后分類討論進行求解即可.

（1）當時，，，

當時，，則，

當時，，則，

則當時，，在上為增函數(shù)，，

又函數(shù)為偶函數(shù)，則對任意，成立，

（2），

當時，，即為，

，即為，

令，則，

當時，在上，，在上為增函數(shù)，；

當時，在上，，在上為減函數(shù)，；

當時，存在唯一的，使得，

與在區(qū)間上的情況如下：

	+	0	－
	增	極大值	減

在區(qū)間上是增函數(shù)，，

進一步，當時，當且僅當，

可得.

綜上所述，當且僅當時，在上恒成立；

當且僅當時，在上恒成立，

所以的最大值為，的最小值為1.