Question

為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加2010年廣州亞運會跳水項目，對甲、乙兩名運動員進行培訓．現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取6次，得出莖葉圖如如圖所示
（Ⅰ）從平均成績及發(fā)揮穩(wěn)定性的角度考慮，你認為選派哪名運動員合適？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，對甲運動員在今后3次比賽成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的莖葉圖得到甲和乙的成績，首先求兩個人成績的平均數(shù)，結果兩個人的平均數(shù)相等，再求兩個人的方差，甲的方差小于乙的方差，得到甲的成績比較穩(wěn)定，甲運動員參賽比較合適．
（II）這3次成績中高于80分的次數(shù)為ξ，隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，變量服從二項分布，根據(jù)二項分布的概率公式寫出分布列和期望．

解答：解：根據(jù)莖葉圖，可得甲、乙兩名運動員的6次預賽成績如下：
甲：78，79，81，84，93，95
乙：75，80，83，85，92，95
（1）派甲運動員參賽比較合適．
理由如下：

x甲

=

1

6

（78+79+81+84+93+95）=85

x乙

=

1

6

（75+80+83+85+92+95）=85
S_甲²=

1

6

[（78-85）²+（79-85）²+（81-85）²+
（84-85）²+（93-85）²+（95-85）²]=

133

3

S_乙²=

1

6

[（75-85）²+（80-85）²+（83-85）²+
（85-85）²+（92-85）²+（95-85）²]=

139

3

∵

x甲

=

x乙

，S_甲²＜S_乙²
∴甲運動員的成績較穩(wěn)定，派甲運動員參賽比較合適．
（2）記“甲運動員在一次比賽中成績高于80分”為事件A，
則P(A)=

4

6

=

2

3

．
隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，
∴P（ξ=k）=

C

k 3

(

2

3

)k(

1

3

)3-kk=0、1、2、3
∴變量ξ的分布列為：

∴Eξ0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據(jù)概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．