【題目】已知函數(shù),其中, 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;
(2)若,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),證明: .
【答案】(1)見解析(2)
【解析】試題分析:(1)由題意知. .
由于, ,根據(jù)兩個(gè)區(qū)間關(guān)系,分, , 三種情況討論。(2)由, 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則由可知, 在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減.由(1)知., 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.因此, , , .解得.
試題解析:(Ⅰ)由,有.
所以.
因此,當(dāng)時(shí), .
當(dāng)時(shí), ,所以在上單調(diào)遞增,
因此在上的最小值是;
當(dāng)時(shí), ,所以在上單調(diào)遞減,
因此在上的最小值是;
當(dāng)時(shí),令,得.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
于是在上的最小值是.
綜上所述,
當(dāng)時(shí), 在上的最小值是;
當(dāng)時(shí), 在上的最小值是;
當(dāng)時(shí), 在上的最小值是.
(Ⅱ)設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn),則由可知,
在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增,也不可能單調(diào)遞減.
則不可能恒為正,也不可能恒為負(fù).
故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).
同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).
所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)零點(diǎn).
由(Ⅰ)知,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增,故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,故在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).
所以.
此時(shí), 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.
因此, ,必有
, .
由有,
由, .
解得.
所以,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】滬昆高速鐵路全線2016年12月28日開通運(yùn)營.途經(jīng)鷹潭北站的、兩列列車乘務(wù)組工作人員為了了解乘坐本次列車的乘客每月需求情況,分別在兩個(gè)車次各隨機(jī)抽取了100名旅客進(jìn)行調(diào)查,下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制了月乘車次數(shù)的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表.
(1)若將頻率視為概率,月乘車次數(shù)不低于15次的稱之為“老乘客”,試問:哪一車次的“老乘客”較多,簡要說明理由;
(2)已知在次列車隨機(jī)抽到的50歲以上人員有35名,其中有10名是“老乘客”,由條件完成列聯(lián)表,并根據(jù)資料判斷,是否有的把握認(rèn)為年齡與乘車次數(shù)有關(guān),說明理由.
老乘客 | 新乘客 | 合計(jì) | |
50歲以上 | |||
50歲以下 | |||
合計(jì) |
附:隨機(jī)變量(其中為樣本容量)
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),且f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=2x-1.
(1)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),求f(x)的解析式;
(2)計(jì)算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn),橢圓的左,右頂點(diǎn)分別為.過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的面積是的面積的3倍.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若與軸垂直,是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),且滿足,試問直線的斜率是否為定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線L的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)).在以原點(diǎn) 為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,圓C的方程為.
(Ⅰ)寫出直線L的傾斜角和圓C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn) P坐標(biāo)為,圓C與直線L交于 A,B兩點(diǎn),求|PA||PB|的值.
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市公租房的房源位于四個(gè)片區(qū),設(shè)每位申請人只申請其中一個(gè)片區(qū)的房源,且申請其中任一個(gè)片區(qū)的房源是等可能的,在該市的甲、乙、丙三位申請人中:
(1)求恰有1人申請片區(qū)房源的概率;
(2)用表示選擇片區(qū)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人玩擲骰子游戲,甲擲出的點(diǎn)數(shù)記為,乙擲出的點(diǎn)數(shù)記為,
若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)甲勝;方程有
兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)為“和”;方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)乙勝.
(1)列出甲、乙兩人“和”的各種情形;
(2)求甲勝的概率.
必要時(shí)可使用此表格
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分13分)
如圖5,已知點(diǎn)是圓心為半徑為1的半圓弧上從點(diǎn)數(shù)起的第一個(gè)三等分點(diǎn),是直徑,,平面,點(diǎn)是的中點(diǎn).
(1)求二面角的余弦值.
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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