【題目】已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長為1.M是底面△ABC內(nèi)部一個(gè)動點(diǎn)(包括邊界),且M到三個(gè)側(cè)面PAB,PBC,PAC的距離h1,h2,h3成單調(diào)遞增的等差數(shù)列,記PM與AB,BC,AC所成的角分別為α,β,γ,則下列正確的是( 。
A.α=βB.β=γC.α<βD.β<γ
【答案】D
【解析】
PM與AB,BC,AC所成的角分別為α,β,γ,即比較OM與AB,BC,AC夾角的大小,然后在△ABC中解決問題, 由于d1<d2<d3,可知M在如圖陰影區(qū)域(不包括邊界)
從圖中可以看出,OM與BC所成角小于OM與AC所成角,即得解.
依題意知正四面體P﹣ABC的頂點(diǎn)P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O,
由余弦定理可知,
cosα=cos∠PMOcos<MO,AB>,其中<MO,AB>表示直線MO與AB的夾角,
同理可以將β,γ轉(zhuǎn)化,
cosβ=cos∠PMOcos<MO,BC>,其中<MO,BC>表示直線MO與BC的夾角,
cosγ=cos∠PMOcos<MO,AC>,其中<MO,AC>表示直線MO與AC的夾角,
由于∠PMO是公共的,因此題意即比較OM與AB,BC,AC夾角的大小,
設(shè)M到AB,BC,AC的距離為d1,d2,d3 則d1=sin,其中θ是正四面體相鄰兩個(gè)面所成角,sinθ,
所以d1,d2,d3成單調(diào)遞增的等差數(shù)列,然后在△ABC中解決問題
由于d1<d2<d3,可知M在如圖陰影區(qū)域(不包括邊界)
從圖中可以看出,OM與BC所成角小于OM與AC所成角,所以β<γ,
故選:D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】牛頓迭代法(Newton's method)又稱牛頓–拉夫遜方法(Newton–Raphsonmethod),是牛頓在17世紀(jì)提出的一種近似求方程根的方法.如圖,設(shè)是的根,選取作為初始近似值,過點(diǎn)作曲線的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),稱是的一次近似值,過點(diǎn)作曲線的切線,則該切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,稱是的二次近似值.重復(fù)以上過程,直到的近似值足夠小,即把作為的近似解.設(shè)構(gòu)成數(shù)列.對于下列結(jié)論:
①;
②;
③;
④.
其中正確結(jié)論的序號為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為,過原點(diǎn)的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),直線分別與軸交于, 兩點(diǎn).若直線斜率為 時(shí), .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)(與直線的斜率無關(guān))?請證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P是拋物線Γ上一點(diǎn),且在第一象限,滿足(2,2)
(1)求拋物線Γ的方程;
(2)已知經(jīng)過點(diǎn)A(3,﹣2)的直線交拋物線Γ于M,N兩點(diǎn),經(jīng)過定點(diǎn)B(3,﹣6)和M的直線與拋物線Γ交于另一點(diǎn)L,問直線NL是否恒過定點(diǎn),如果過定點(diǎn),求出該定點(diǎn),否則說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大約在20世紀(jì)30年代,世界上許多國家都流傳著這樣一個(gè)題目:任取一個(gè)正整數(shù),如果它是偶數(shù),則除以2;如果它是奇數(shù),則將它乘以3加1,這樣反復(fù)運(yùn)算,最后結(jié)果必然是1.這個(gè)題目在東方被稱為“角谷猜想”,世界一流的大數(shù)學(xué)家都被其卷入其中,用盡了各種方法,甚至動用了最先進(jìn)的電子計(jì)算機(jī),驗(yàn)算到對700億以內(nèi)的自然數(shù)上述結(jié)論均為正確的,但卻給不出一般性的證明.例如取,則要想算出結(jié)果1,共需要經(jīng)過的運(yùn)算步數(shù)是( )
A.9B.10C.11D.12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且=9,S6=60.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)若數(shù)列{bn}滿足bn+1﹣bn=(n∈N+)且b1=3,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)的動圓恒與軸相切,為該圓的直徑,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的任意直線與曲線交于點(diǎn),為的中點(diǎn),過點(diǎn)作軸的平行線交曲線于點(diǎn),關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,除以外,直線與是否有其它公共點(diǎn)?說明理由.
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