Question

【題目】已知函數(shù) ， ( 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
（1）設(shè)曲線 在 處的切線為 ，若 與點(diǎn) 的距離為 ，求 的值；
（2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù) ， 恒成立，試確定 的取值范圍；
（3）當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解： , .

在 處的切線斜率為 ，

∴切線 的方程為 ，即 .

又切線 與點(diǎn) 距離為 ,所以 ，

解之得， 或

（2）解：∵對(duì)于任意實(shí)數(shù) 恒成立，

∴若 ，則 為任意實(shí)數(shù)時(shí)， 恒成立；

若 恒成立，即 ，在 上恒成立，

設(shè) 則 ,

當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)， ，則 在 上單調(diào)遞減；

所以當(dāng) 時(shí)， 取得最大值， ，

所以 的取值范圍為 .

綜上，對(duì)于任意實(shí)數(shù) 恒成立的實(shí)數(shù) 的取值范圍為

（3）解：依題意, ，

所以 ,

設(shè) ,則 ,當(dāng) ,

故 在 上單調(diào)增函數(shù),因此 在 上的最小值為 ，

即 ，

又 所以在 上， ，

即 在 上不存在極值

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程，再利用點(diǎn)到直線距離公式代入求解.
（2）恒成立問題進(jìn)行分離變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，由于x ≥ 0 ,不等式兩邊同除以x時(shí)注意對(duì)x的分類討論.
（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在區(qū)間 [ 1 , e ]上的單調(diào)性，借助單調(diào)性的判斷函數(shù)有無極值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)．