Question

已知向量

a

=(4x+1 ， 2x) ， 

b

=(y-1 ， y-k) ，

a

⊥

b．

（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為-3，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）為三邊長(zhǎng)的三角形，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示式，建立關(guān)于x、y的等式，從中解出用x表示y的式子，即可得到函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）將f（x）表達(dá)式的分子、分母都除以2^x，得到它的分母2^x+2^-x+1≥2

2x•2-x

+1=3．再根據(jù)k與1的大小關(guān)系分類討論，即可得到必定有k＜1，且當(dāng)2^x=2^-x=1即x=0時(shí)，函數(shù)有最小值為-3，由此解關(guān)于k的等式即得實(shí)數(shù)k的值．
（3）根據(jù)構(gòu)成三角形的條件，得出不等式f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）恒成立，然后分三種情況進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化為f（x₁）+f（x₂）的最小值與f（x₃）的最大值的不等式，進(jìn)而可以求出實(shí)數(shù)k 的取值范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(4x+1 ， 2x) ， 

b

=(y-1 ， y-k) ，

a

⊥

b．

∴（4^x+1）（y-1）+2^x（y-k）=0，化簡(jiǎn)整理得y（4^x+2^x+1）=4^x+k•2^x+1
因此，函數(shù)y=f（x）的解析式為y=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

；
（2）∵f（x）=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

(k-1)•2x

4x+2x+1

∴根據(jù)函數(shù)f（x）的最小值為-3，得t=

(k-1)•2x

4x+2x+1

的最小值為-4
∵2^x+2^-x+1≥2

2x•2-x

+1=3
∴當(dāng)k＞1時(shí)，

(k-1)•2x

4x+2x+1

=

k-1

2x+2-x+1

≤

k-1

3

；當(dāng)k＜1時(shí)，

(k-1)•2x

4x+2x+1

=

k-1

2x+2-x+1

≥

k-1

3

；
k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=1恒成立不符合題意．
∴結(jié)合題意可得k＜1，且當(dāng)且僅當(dāng)2^x=2^-x=1，即x=0時(shí)，t的最小值為

k-1

3

=-4，解之得k=-11
即函數(shù)f（x）的最小值為-3時(shí)，實(shí)數(shù)k的值為-11；
（3）∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁、x₂、x₃，都存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長(zhǎng)的三角形，
∴f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）對(duì)任意的x₁、x₂、x₃∈R恒成立．
當(dāng)k＞1時(shí)，因?yàn)?＜f（x₁）+f（x₂）≤

2k+4

3

且1＜f（x₃）≤

k+2

3

，
∴

k+2

3

≤2，解之得1＜k≤4；
當(dāng)k=1時(shí)，可得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，滿足題意的條件；
當(dāng)k＜1時(shí)，因?yàn)?span id="q66urf8" class="MathJye">

2k+4

3

≤f（x₁）+f（x₂）＜2，且

k+2

3

≤f（x₃）＜1，
∴

2k+4

3

≥1，解之得-

1

2

≤k＜1；
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-

1

2

，4]

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積運(yùn)算為載體，求函數(shù)的表達(dá)式并討論函數(shù)的最值．著重考查了向量數(shù)量積公式、基本不等式求最值、函數(shù)恒成立等知識(shí)，屬于中檔題．