Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=

2(n+1)

n

a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=

an

n

，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將數(shù)列遞推式變形，結(jié)合b_n=

an

n

，即可證得數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答：（Ⅰ）證明：∵a_n+1=

2(n+1)

n

a_n，∴

an+1

n+1

=2×

an

n

∵b_n=

an

n

，∴

bn+1

bn

=2，∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn=2×2n-1=2ⁿ，∴an=nbn=n•2n
∴S_n=1×2¹+2×2²+…+n•2ⁿ①
∴2S_n=1×2²+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②：-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．