Question

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F為棱BB₁的中點(diǎn)，M為線段AC₁的中點(diǎn)。
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小。

Answer 1

（1）延長(zhǎng)C₁F交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接AN。因?yàn)镕是BB₁的中點(diǎn)，所以F為C₁N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)。
又M是線段AC₁的中點(diǎn)，故MF∥AN。
又MF平面ABCD，AN平面ABCD。
∴MF∥平面ABCD。    
（2）易得BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角或補(bǔ)角。
在Rt△C₁AC中，，  
故∠C₁AC=30°
∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°

略