如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，
底面
（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；
（Ⅲ）當(dāng)時，在線段上是否存在一點使二面角為，若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由。
（Ⅰ）證明：在中，
∵
∴
∴，得
又∵底面
∴斜線在底面內(nèi)的射影為
∴由三垂線定理，得
故，                     …………………………………4分
（Ⅱ）以為原點，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則


設(shè)是平面的法向量，則
取，得
∴是平面的一個法向量。
同理可求：是平面的一個法向量
∴………………………………7分
故，二面角的余弦值
（Ⅲ）顯然是平面的一個法向量，可是
因得從而，得

設(shè)是平面的法向量，同（Ⅱ）容易解得是平面 的一個法向量。
由題意，得 ………………12分
即，注意到解得
故，當(dāng)點在線段上，且滿足時，二面角為
略
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，正方體各條棱所在的直線中和棱AA1所在直線互相垂直的有 （   ）
A．4條B．6條C．8條D．10條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1B與平面ABC1D1所成的角為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知兩直線m、n，兩平面α、β，且．下面有四個命題(        )
(1)若；           (2)；
(3；           (4)．
其中正確命題的個數(shù)是
A．０　　B．１C．2　　　　D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在三棱錐中，側(cè)棱、、兩兩垂直，、、 的面積分別為、、，則該三棱錐外接球的表面積為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P、Q分別是棱AA1、CC1的中點，則過點B、P、Q的截面是(　　)
A．三角形               B．菱形但不是正方形
C．正方形               D．鄰邊不等的矩形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F為棱BB1的中點，M為線段AC1的中點。
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正△的邊長為4，是邊上的高，分別是和邊的中點，現(xiàn)將△沿翻折成直二面角．
（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求平面BDC與平面DEF的夾角的余弦值；
（3）在線段上是否存在一點，使？證明你的結(jié)論．
                         

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知三棱柱的體積為，為其側(cè)棱上的任意一點，則四棱錐的體積為____________．

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