在三角形ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，若b=
3
，則a+c的最大值為（　�。�
分析：由等差中項(xiàng)的定義得2bcosB=acosC+ccosA，結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式算出2sinBcosB=sin（A+C），利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得cosB=
1
2
．根據(jù)余弦定理b2=a2+c2-2accosB的式子，結(jié)合b=
3
化簡(jiǎn)得（a+c）2=3+3ac，再利用基本不等式加以計(jì)算，可得當(dāng)a=c=
3
時(shí)，a+c的最大值為2
3
．
解答：解：∵在△ABC中，acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，即2bcosB=acosC+ccosA，
∴根據(jù)正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）．
又∵△ABC中，sin（A+C）=sin（180°-B）=sinB＞0
∴2sinBcosB=sinB，兩邊約去sinB得2cosB=1，即cosB=
1
2
，
根據(jù)余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，
∵b=
3
，∴a2+c2-ac=3，可得（a+c）2=3+3ac．
根據(jù)基本不等式，得ac≤[
1
2
(a+b)]2，
∴（a+c）2=3+3ac≤3+
3
4
（a+b）2，解之得（a+c）2≤12．
由此可得當(dāng)且僅當(dāng)a=c=
3
時(shí)，a+c的最大值為2
3
．
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC滿足的邊角關(guān)系式，在已知邊b長的情況下求a+c的最大值，著重考查了正余弦定理、兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式、利用基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三角形ABC中，角A．B．C成公差大于0的等差數(shù)列，
m
=(sinAcos
C-A
2
，cos2A)，
n
=(2cosA，sin
C-A
2
)
（1）求
m
•
n
的取值范圍；
（2）若設(shè)A．B．C的對(duì)應(yīng)邊分別為a．b．c，求
a+c
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三角形ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，D是BC邊的中點(diǎn)，AD=
3
AB=
3
．
（1）求邊長AC的長；
（2）求sin∠DAC的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(
3
sinωx+cosωx)sin(-
3π
2
+ωx)(0＜ω＜
1
2
)，且函數(shù)y=f（x）的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(
5π
3
，a)．
（I）求a和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）在三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足
2a-c
b
=
cosC
cosB
，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三角形ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若a=
3
2
b，A=2B，則cosB等于（　�。�
A、
3
3
B、
3
4
C、
3
5
D、
3
6

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三角形ABC中，角A、B、C及其對(duì)邊a，b，c滿足：ccosB=（2a-b）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）求函數(shù)y=2sin2B-cos2A的值域．

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