【題目】設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)，都有；②當(dāng)時， ；③.

（1）求， 的值；

（2）證明在上是減函數(shù)；

（3）如果不等式成立，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析; （Ⅲ））.

【解析】試題分析：（1）利用賦值法，求、的值．
（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系進(jìn)行證明．
（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解不等式即可．

試題解析：

（Ⅰ）令易得．

而，

且，得．

（Ⅱ）

∴

∴在上為減函數(shù)．

（Ⅲ）由條件（1）及（Ⅰ）的結(jié)果得： ，其中，

由（Ⅱ）得： ，解得的范圍是）

點晴：本題屬于對函數(shù)單調(diào)性的證明和單調(diào)性應(yīng)用的考察，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當(dāng)時有；據(jù)此可以解不等式，由函數(shù)值的大小，根據(jù)單調(diào)性就可以得自變量的大小關(guān)系.

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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點．

（1）若，求線段的中點的直角坐標(biāo)；

（2）若直線的斜率為2，且過已知點，求的值．

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【題目】已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且， .

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足： ，求數(shù)列的前項和.

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【題目】已知函數(shù)（其中）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為，且圖象上一個最低點為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；

（3）若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，求的值.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，證明： 為偶函數(shù)；

（2）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，求實數(shù)的取值范圍，使在上恒成立.

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【題目】已知函數(shù)

（1）若，且在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍

（2）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的最小值為？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點，和平面內(nèi)一點，過點任作直線與橢圓相交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，，試求滿足的關(guān)系式.

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【題目】某商場進(jìn)行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現(xiàn)金或參加一次抽獎，抽獎規(guī)則如下：從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現(xiàn)金獎勵，假設(shè)顧客抽獎的結(jié)果相互獨立.

（Ⅰ）若顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現(xiàn)金獎勵的概率；

（Ⅱ）某顧客已購物1500元，作為商場經(jīng)理，是希望顧客直接選擇返回150元現(xiàn)金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；

（Ⅲ）若顧客參加10次抽獎，則最有可能獲得多少現(xiàn)金獎勵？

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【題目】已知數(shù)列的前項和為，且滿足：

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）若存在，使得 成等差數(shù)列，試判斷：對于任意的，且是否成等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論.

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