Question

甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠，由于乙方生產(chǎn)須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關系x=2000，若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格)．

    (1)將乙方的年利潤W(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量．

    (2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失余額y=0．002t².在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是多少?

Answer 1

 [考場錯解]  (1)因為賠付價格為S元／噸，所以乙方的實際利潤為：

W=2000-St=(2000-S)=S(2000-)≤S·=1000³S．當且僅當=2000-.即t=10⁶(噸)時．W取得最大值．

(2)設甲方凈收入為v元，則v=St-0.002t²,將t=10⁶代入上式v=10⁶S-10¹²×0.002=10⁶(S-2×10³).

∵v在(0，+∞)上是增函數(shù)．即S越大，v越大，故甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是任意大的數(shù)字．

 [專家把脈]  上面解答主要在第(1)問求w的最值時，變形出了錯誤，即由w=2000-St=S(2000-)正確的變形為w=2000-St=S(-)．這一步出錯導致后面結(jié)果都是錯誤的．

    [對癥下藥]  (1)解法1

    因為賠付價格為S元／噸，所以乙方的實際年利潤為：W=2000-St

    ∵W=2000-St=S(-)≤S=()²當且僅當=-即t=()²時，W取得最大值． ∴乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=()²噸．

    解法2  因為賠付價格為S元／噸，所以乙方的實際年利潤為W=2000-St．

    ∴W=2000-St=-S(-)²+  ∴當t=()²時，w取得最大值．

    ∴乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t=()² (噸)

解法3  因為賠付價格為S元／噸，所以乙方的實際年利潤為：w=2000-St．

由w′=-S=,令w′=0得t=t₀=()²．當t<t₀時，w′>0；當t>t₀時，w′<0．所以t=t₀時w取得最大值．因此乙方取得最大年利潤的年產(chǎn)量t₀=()²噸．

設甲方凈收入為v元，則v=St-0．002t²． 將t=()²代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格S之間的函數(shù)關系式v=-.又v′=--令v′=0得S=20，當S<20時，v′>0；當S>20時，v′<0，∴S=20時，v取得最大值．因此甲方向乙方要求賠付價格S=20(元／噸)時，獲得最大凈收入．