Question

已知f(x)的定義域為(0，＋∞)，且滿足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，又當x₂>x₁>0時，f(x₂)>f(x₁)．
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值；
(2)若有f(x)＋f(x－2)≤3成立，求x的取值范圍．

Answer 1

（1）0，2，3（2）(2,4]．

試題分析：解：(1)f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0，
f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，
f(8)＝f(2)＋f(4)＝2＋1＝3.                6
(2)∵f(x)＋f(x－2)≤3，∴f[x(x－2)]≤f(8)，
又∵對于函數(shù)f(x)有x₂>x₁>0時f(x₂)>f(x₁)，
∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)．         10
∴⇒2<x≤4.
∴x的取值范圍為(2,4]．               14
點評：主要是考查了賦值法來求解函數(shù)的值，以及單調(diào)性的判定，屬于基礎題。