Question

【題目】已知圓O的方程為x2+y2=1，直線l1過點(diǎn)A（3，0），且與圓O相切．
（1）求直線l1的方程；
（2）設(shè)圓O與x軸相交于P，Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2 ， 直線PM交直線l2于點(diǎn)P′，直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，可設(shè)直線l1的方程為y=k（x﹣3），

即kx﹣y﹣3k=0

又點(diǎn)O（0，0）到直線l1的距離為 ，解得 ，

所以直線l1的方程為 ，

即 或

（2）解：對(duì)于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．

又直線l2方程為x=3，設(shè)M（s，t），則直線PM方程為 ．

解方程組 ，得 ，

同理可得： ．

所以圓C的圓心C的坐標(biāo)為 ，半徑長(zhǎng)為 ，

又點(diǎn)M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為 ，半徑長(zhǎng) ．

所以圓C的方程為 ，

即 =0

即 ，

又s2+t2=1

故圓C的方程為 ，

令y=0，則（x﹣3）2=8，

所以圓C經(jīng)過定點(diǎn)，y=0，則x= ，

所以圓C經(jīng)過定點(diǎn)且定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】（1）由已知中直線l1過點(diǎn)A（3，0），我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程后，代入點(diǎn)到直線距離公式，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k值，進(jìn)而得到直線l1的方程；（2）由已知我們易求出P，Q兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到點(diǎn)P′與Q′的坐標(biāo)（含參數(shù)），進(jìn)而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程即可判斷結(jié)論．