【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+x2﹣ax(a∈R)
(1)a=3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)≤2x2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證;lnn> + +1 +…+ (n∈N+)且n≥2.

【答案】
(1)解:a=3時,f(x)=lnx+x2﹣3x,(x>0),

f′(x)= +2x﹣3= ,

△=32﹣8=1>0,由f′(x)=0,解得x1= ,x2=1,

當(dāng)x∈(0, )∪(1,+∞)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈( )時,f′(x)<0,

則函數(shù)f(x)在(0, ),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在( ,1)上單調(diào)遞減


(2)解:f(x)≤2x2,化為:lnx﹣x2﹣ax≤0,

∴a≥ ﹣x,令g(x)= ,

g′(x)=

令h(x)=1﹣lnx﹣x2,可知:函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

而h(1)=0=g′(1).

∴x>1時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減;

0<x<1時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

∴函數(shù)g(x)在x=1時取得極大值即最大值,g(1)=﹣1.

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥﹣1


(3)證明:令t(x)=lnx﹣ ,

則t′(x)= >0,

∴t(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x>1時,t(x)>t(1),即lnx﹣ >0,∴l(xiāng)nx> ,

令x=1+ ,則ln(1+ )> ,

故ln(1+1)> ,ln(1+ )> ,…,ln(1+ )>

累加得:ln(n+1)> ,

取n=n﹣1,得lnn> (n≥2)


【解析】(1)把a(bǔ)=3代入函數(shù)解析式,求導(dǎo)后求得導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),由導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)對定義域分段,求出各區(qū)間段內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號,從而求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)把f(x)≤2x2化為:lnx﹣x2﹣ax≤0,得到a≥ ﹣x,令g(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值可得實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)令t(x)=lnx﹣ ,由導(dǎo)數(shù)可得t(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,得到x>1時,lnx> ,令x=1+ ,可得ln(1+ )> ,累加可得ln(n+1)> ,取n=n﹣1得答案.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在中學(xué)生綜合素質(zhì)評價某個維度的測評中,分“優(yōu)秀、合格、尚待改進(jìn)”三個等級進(jìn)行學(xué)生互評,某校高二年級有男生500人,女生400人,為了了解性別對維度測評結(jié)果的影響,采用分層抽樣方法從高二年級抽取了45名學(xué)生的測評結(jié)果,并作出頻率統(tǒng)計(jì)表如表: 表一:男生測評結(jié)果統(tǒng)計(jì)

等級

優(yōu)秀

合格

尚待改進(jìn)

頻數(shù)

15

x

5

表二:女生測評結(jié)果統(tǒng)計(jì)

等級

優(yōu)秀

合格

尚待改進(jìn)

頻數(shù)

15

3

y

參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0

0.10

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

(參考公式: ,其中n=a+b+c+d).
(1)計(jì)算x,y的值;
(2)由表一表二中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.

男生

女生

總計(jì)

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

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