以橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形，試問(wèn)：（1）這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在，寫(xiě)出一個(gè)等腰直角三角形兩腰所在的直線(xiàn)方程。若不存在，說(shuō)明理由。（2）這樣的等腰直角三角形若存在，最多有幾個(gè)？

(1)存在，與；（2）存在，最多有個(gè).

解析試題分析：（1）這樣的等腰直角三角形存在．直線(xiàn)y=x+1與直線(xiàn)y=-x+1滿(mǎn)足題意；
（2）設(shè)出CA所在的直線(xiàn)方程，代入橢圓的方程并整理，求出|CA|，同理求出|CB|，由|CA|=|CB|得（k-1）[k2-（a2-1）k+1]=0，討論方程根的情況，即可得出結(jié)論．
試題解析：（1）這樣的等腰直角三角形存在。因?yàn)橹本�(xiàn)與直線(xiàn)垂直，且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)是一個(gè)等腰直角三角形兩腰所在的直線(xiàn)方程。
（2）設(shè)兩點(diǎn)分別居于軸的左，右兩側(cè)，設(shè)的斜率為，則，所在的直線(xiàn)方程為，代入橢圓的方程并整理得，或，的橫坐標(biāo)為，，
同理可得，所以由得
，，
當(dāng)時(shí)，（1）的解是無(wú)實(shí)數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，（1）的解是的解也是；當(dāng)時(shí)，（1）的解除外，方程有兩個(gè)不相等的正根，且都不等于，故（1）有 個(gè)正根。
所以符合題意的等腰直角三角形一定存在，最多有個(gè)。
考點(diǎn)：(1)橢圓的性質(zhì)；（2）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線(xiàn)段長(zhǎng)為2,在y軸上截得線(xiàn)段長(zhǎng)為2.
(1)求圓心P的軌跡方程;
(2)若P點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的距離為,求圓P的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)在拋物線(xiàn)上. 設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切于點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn)，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點(diǎn)；
（3）在坐標(biāo)平面上是否存在定點(diǎn)，使得圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓+=1(a>b>0),點(diǎn)P（a,a）在橢圓上.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)Q在橢圓上且滿(mǎn)足|AQ|=|AO|,求直線(xiàn)OQ的斜率的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線(xiàn)相切.
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN軸于N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足（其中m為非零常數(shù)），試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)時(shí)，得到動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡曲線(xiàn)C，與垂直的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于 B、D兩點(diǎn)，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓過(guò)點(diǎn)P(1, )，其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率e＝, M, N是直線(xiàn)x＝4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過(guò)定點(diǎn)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”的方程.
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作直線(xiàn)l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1,l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.
①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求l1,l2的方程;
②求證:|MN|為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，直線(xiàn)，拋物線(xiàn)，已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值為．

（1）求直線(xiàn)及拋物線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的任一直線(xiàn)（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，， ．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

若橢圓＝1的焦距為2，求橢圓上的一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和．

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同步練習(xí)冊(cè)答案