Question

如圖，在斜三棱柱中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，平面．已知，．
（Ⅰ）證明：平面；
（Ⅱ）求異面直線(xiàn)與所成的角；
（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）.

本試題主要考查了立體幾何中的線(xiàn)面平行和異面直線(xiàn)所稱(chēng)的角，以及線(xiàn)面角的求解的綜合運(yùn)用，考查了空間想象能力‘
解法一：（Ⅰ）證明：∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
∴ ，又∵平面，平面，
∴平面．···························· 4分
（Ⅱ）∵平面，∴，又∵，且，
∴平面,∴．··················· 6分
又∵， ∴四邊形為菱形，
∴，且∴平面,
∴，即異面直線(xiàn)與所成的角為．············· 8分
(Ⅲ) 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵，
即_△．·················· 10分
又∵在△中，,∴_△．
∴，∴與平面所成角的正弦值．·········· 12分

解法二：如圖建系，，
，，   ，．……………2分
（Ⅰ）∵，，∴，，即，
又∵平面，平面，∴平面．······· 6分
（Ⅱ）∵，，∴，即∴，
∴異面直線(xiàn)與所成的角為．···················· 8分
(Ⅲ)設(shè)與平面所成角為，∵，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是
不妨令，可得，····················· 10分
∴，∴與平面所成角的正弦值． 12分