Question

已知拋物線C：y²=4（x-1），橢圓C₁的左焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線l分別重合．
（1）設(shè)B是橢圓C₁短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡C₂的方程；
（2）如果直線x+y=m與曲線C₂相交于不同兩點(diǎn)M、N，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．則c=（2x-2）-2=2x-4，b²=（2y）²=4y²，由（-c）-（-

a2

c

）=2，知 

a2-c2

c

=2，由此能求出C₂的軌跡方程．
（2）由

x+y=m y2=x-2

，y≠0，知y²+y-m+2=0，再由根的判別式和題設(shè)條件能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）拋物線y²=4（x-1）焦點(diǎn)為F（2，0），準(zhǔn)線l：x=0．設(shè)P（x，y），
∵P為BF中點(diǎn)，
∴B（2x-2，2y）（x＞2，y≠0）．設(shè)橢圓C₁的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c，
則c=（2x-2）-2=2x-4，b²=（2y）²=4y²，
∵（-c）-（-

a2

c

）=2，
∴

a2-c2

c

=2，
即b²=2c．∴4y²=2（2x-4），
即y²=x-2（y≠0），此即C₂的軌跡方程．
（2）由

x+y=m y2=x-2

，y≠0，知y²+y-m+2=0，
令△=1-4（-m+2）＞0，知m＞

7

4

．
而當(dāng)m=2時(shí)，直線x+y=2過(guò)點(diǎn)（2，0），這時(shí)它與曲線C2只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴所求m的取值范圍是（

7

4

，2）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理運(yùn)用．