Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，直線(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒過定點(diǎn)F.設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F，且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為2＋.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)(m，n)是橢圓C上的任意一點(diǎn)，圓O：x²＋y²＝r²(r＞0)與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，試分別判斷圓O與直線l₁：mx＋ny＝1和l₂：mx＋ny＝4的位置關(guān)系．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離．

(1)由(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0整理
得(x＋y－3)k＋(x－y－)＝0，
解方程組得F(，0)．
設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a,2b,2c，則由題設(shè)知于是a＝2，b＝1. 所以橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)因?yàn)閳AO：x²＋y²＝r²(r＞0)與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，所以b＜r＜a，即1＜r＜2.
因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)是橢圓＋y²＝1上的點(diǎn)，所以＋n²＝1，
且－2≤m≤2.所以∈[1,2]．
于是圓心O到直線l₁的距離d₁＝≤1＜r，
圓心O到直線l₂的距離d₂＝≥2＞r.
故直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離