設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，都有f（m）·f（n）＝f（m＋n），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1．

（Ⅰ）證明（1）f（0）＝1；

　　　　  （2）當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1；

　　　　  （3）f（x）是R上的減函數(shù)；

（Ⅱ）如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，有f（）·f（）≤f（axy）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

答案：
解析：

解：（Ⅰ）（1）證明：在中，令m＝n＝0，

　　     得即  ∴  或

　　     若，則當(dāng)x＜0時(shí)，有，

這與題設(shè)矛盾  ∴ 

　　   （2）證明：當(dāng)x＜0時(shí)，－x＜0，由已知得

　　     〔〕，

∵  ，

　　     ∴  ，  即x＞0時(shí)，

　　   （3）證明：任取，則，

　　    ∵  ，∴  ，

又，∴  ，∴  在定義域R上為減函數(shù)

�。á颍�  ，∴  ，

∵  是減函數(shù)，∴  恒成立．

　�。á。┊�(dāng)xy＝0時(shí)，a可取任意實(shí)數(shù)；

　�。áⅲ┊�(dāng)xy＞0時(shí)，，而，∴  只需a≤2

　�。á＃┊�(dāng)xy＜0時(shí)，，而，∴  只需a≥－2

　　∴  綜上所述，滿足題設(shè)要求的a的取值范圍是－2≤a≤2

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數(shù)，如果不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）對(duì)于任意x∈[0，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，并且滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(
1
3
)=1
（1）求f(
1
9
)；
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[-1，0）∪（0，1]上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=x3-ax（a∈R）．
（1）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，試判斷f（x）在（0，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）是否存在a，使得當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）有最大值1？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在[a，b]上的奇函數(shù)，則f（a+b）=
0
0
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)．若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=
|1-
1
x
0
x＞0；，
x=0.

（1）求f（x）在（-∞，0）上的解析式．
（2）請(qǐng)你作出函數(shù)f（x）的大致圖象．
（3）當(dāng)0＜a＜b時(shí)，若f（a）=f（b），求ab的取值范圍．
（4）若關(guān)于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求b，c滿足的條件．

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