Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為，過(guò)軸正半軸一點(diǎn) 且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù)使以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)可得,又根據(jù)離心率可求,利用，即可寫(xiě)出橢圓的方程

（2）由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，寫(xiě)出，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求存在m.

解：（1）拋物線的焦點(diǎn)是

，，又橢圓的離心率為，即

，，則

故橢圓的方程為.

（2）由題意得直線的方程為

由消去得.

由，解得.

又，.

設(shè)，，則，.

.

，，

若存在使以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則必有，即，

解得.又，.

即存在使以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).