定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:對任意的x,y∈(0,+∞),都有f(xy)=f(x)+f(y)-1,且當0<x<1時,都有f(x)>1成立.
(1)判斷并證明f(x)在定義域(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)若f(9)=7,解不等式:f(x2+2x)>4

解:(1)函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是一個減函數(shù).證明如下:
設0<x1<x2,則 0<<1,于是有:>1
f(x1)==f(x2)+-1>f(x2)+1-1=f(x2
即:f(x1)>f(x2).
由函數(shù)的單調(diào)性定義可知:函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是一個減函數(shù).
(2)由已知,f(3×3)=f(3)+f(3)-1=7,即得:f(3)=4,因此有
f(x2+2x)>4=f(3),又有(1)的結論以及函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),得不等式組:
,解得:-3<x<-2或0<x<1
所以:(1)數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上是一個減函數(shù)
(2)不等式f(x2+2x)>4的解集為:{x|-3<x<-2或0<x<1}
分析:(1)抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明,需要特別的構造方法,本題中的特點是含有f(xy),因此在設出0<x1<x2之后想到
構造出:0<<1,可應用已知得到>1,下面的證明過程就很自然了.
對于(2)的抽象不等式的解法,是想法脫去函數(shù)符號“f”,而利用(1)的結論很容易做到,轉(zhuǎn)化得出一個不等式,進而解之即可.
點評:本題考查抽象函數(shù)的概念及其應用,抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,抽象函數(shù)不等式的解集的求法.
考查了構造函數(shù)以及函數(shù)值的賦值法即函數(shù)特值的應用技巧.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在(0,1)上的函數(shù)f(x),對任意的m,n∈(1,+∞)且m<n時,都有f(
1
n
)-
f(
1
m
)=f(
m-n
1-mn
)
an=f(
1
n2+5n+5
)
,n∈N*,則在數(shù)列{an}中,a1+a2+…a8=( 。
A、f(
1
2
)
B、f(
1
3
)
C、f(
1
4
)
D、f(
1
5
)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設f(x)是定義在(0,1)上的函數(shù),且滿足:①對任意x∈(0,1),恒有f(x)>0;②對任意x1,x2∈(0,1),恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2
,則下面關于函數(shù)f(x)判斷正確的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•順義區(qū)二模)已知定義在區(qū)間[0,
2
]上的函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=
4
對稱,當x
4
時,f(x)=cosx,如果關于x的方程f(x)=a有解,記所有解的和為S,則S不可能為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

填空題
(1)已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
,則sin2x的值為
1
9
1
9

(2)已知定義在區(qū)間[0,
2
]
上的函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=
4
對稱,當x≥
4
時,f(x)=cosx,如果關于x的方程f(x)=a有四個不同的解,則實數(shù)a的取值范圍為
(-1,-
2
2
)
(-1,-
2
2
)


(3)設向量
a
,
b
,
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
,(
a
-
b
)⊥
c
,
a
b
,若|
a
|=1
,則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2
的值是
4
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•湖州二模)定義在(0,
π
2
)上的函數(shù)f(x),f′(x)是它的導函數(shù),且恒有f(x)<f′(x)tanx成立,則( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案