Question

學(xué)校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設(shè)計方案如圖：航天器運行（按順時針方向）的軌跡方程為

x2

100

+

y2

25

=1，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞�）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸、M(0，

64

7

)為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D（8，0）．觀測點A（4，0）、B（6，0）同時跟蹤航天器．
（1）求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程；
（2）試問：當(dāng)航天器在x軸上方時，觀測點A、B測得離航天器的距離分別為多少時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？

Answer 1

分析：（1）由題意變軌之后軌跡為開口向上的拋物線，所以利用待定系數(shù)法可以先設(shè)出方程，再利用條件建立未知數(shù)的方程進而求解；
（2）由題意及圖形可知變軌點C實質(zhì)為兩圓錐曲線的交點，故聯(lián)立兩方程即可求解．

解答：解：（1）設(shè)曲線方程為y=ax2+

64

7

，
由題意可知，0=a•64+

64

7

．
∴?a=-

1

7

．
∴曲線方程為y=-

1

7

x2+

64

7

．
（2）設(shè)變軌點為C（x，y），根據(jù)題意可知

x2 100 + y2 25 =1 (1) y=- 1 7 x2+ 64 7 (2)

得4y²-7y-36=0，y=4或y=-

9

4

（不合題意，舍去）．
∴?y=4．
得x=6或x=-6（不合題意，舍去）．
∴?C點的坐標(biāo)為（6，4），|AC|=2

5

，?|BC|=4．
答：當(dāng)觀測點A、B測得AC、BC距離分別為2

5

、?4時，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令．

點評：（1）此問重點考查了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了求解方程當(dāng)知道方程的類別利用待定系數(shù)法求解方程的思想；
（2）此問重點考查了兩方程的交點求解的方法應(yīng)該把兩個方程進行聯(lián)立求解的方法．