Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，（都在軸上方），且．

（�。┤�，求的面積；

（ⅱ）直線是否恒過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率，可得．

所以，所以．

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，

所以，即，解得，故．

∴橢圓的方程為． -----------------4分

（Ⅱ）橢圓的左焦點(diǎn)為．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，．

故直線的方程為，直線的方程為，即．

由，消元得，解得或．

由題意可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．

由/span>，消元得，解得或．

由題意可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以點(diǎn)到直線的距離．

而，所以的面積．--------------- 8分

（ⅱ）設(shè)直線方程為，，．

聯(lián)立方程組，消去，得，-------------10分

由根與系數(shù)的關(guān)系可得，．

所以

，

所以，即，

代入整理，，即． -----------------13分

所以直線的方程為，所以直線總過定點(diǎn)． -----------------14分

【命題意圖】本題考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系、三角形面積的求解以及定點(diǎn)的探究性問題，意在考查基本的邏輯推理能力、運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)等．