Question

【題目】△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c． （Ⅰ）若a，b，c成等差數列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比數列，且c=2a，求cosB的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數列， ∴a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
則sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比數列，
∴b2=ac，
將c=2a代入得：b2=2a2 ， 即b= a，
∴由余弦定理得：cosB= = =
【解析】（Ⅰ）由a，b，c成等差數列，利用等差數列的性質得到a+c=2b，再利用正弦定理及誘導公式變形即可得證；（Ⅱ）由a，b，c成等比數列，利用等比數列的性質列出關系式，將c=2a代入表示出b，利用余弦定理表示出cosB，將三邊長代入即可求出cosB的值．