Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

x+1

（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

x

(x+1) x+1

，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象總在函數(shù)g（x）圖象的下方．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，判出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而得到最大值點(diǎn)，代入原函數(shù)求最大值；
（2）要證當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象總在函數(shù)g（x）圖象的下方把兩函數(shù)作差后得到恒小于0的不等式，換元后構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)后證明函數(shù)的最大值小于0，則問(wèn)題得到證明．

解答：（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

ln(x+1)

x+1

的定義域?yàn)椋?1，+∞）．
f′(x)=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，由f′（x）=0得x=e-1．
所以當(dāng)x∈（-1，e-1）時(shí)，f′（x）＞0．
當(dāng)x∈（e-1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0．
所以當(dāng)x=e-1時(shí)f（x）由最大值，最大值為f（e-1）=

1

e

；
（2）證明：f（x）-g（x）＜0等價(jià)于

ln(x+1)

x+1

-

x

(x+1) x+1

＜0．
不妨設(shè)

x+1

=t 則x=t²-1（t＞1）．
于是不等式等價(jià)于2tlnt＜t²-1．
設(shè)F（t）=2tlnt-t²+1
則F'（t）=2+lnt-2t
當(dāng)t＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減．
所以F（t）＜f（1）=0．
也就等價(jià)于f（x）＜g（x）恒成立（當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)法，此類問(wèn)題在考題中常以壓軸題的形式出現(xiàn)，是難題．