Question

已知直線l：y＝x＋，圓O：x²＋y²＝5，橢圓E：＝1(a>b>0)的離心率e＝，直線l被圓O截得的弦長與橢圓的短軸長相等．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過圓O上任意一點P作橢圓E的兩條切線，若切線都存在斜率，求證：兩條切線的斜率之積為定值．

Answer 1

（1）＝1（2）兩條切線的斜率之積為常數(shù)－1

(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，圓心O到直線l的距離d＝＝，∴b＝＝，
由題意，得∴a²＝3，b²＝2.
∴橢圓E的方程為＝1.
(2)設(shè)點P(x₀，y₀)，過點P的橢圓E的切線l₀的方程為y－y₀＝k(x－x₀)，
聯(lián)立直線l₀與橢圓E的方程，得
消去y，得(3＋2k²)x²＋4k(y₀－kx₀)x＋2(kx₀－y₀)²－6＝0，
∴Δ＝[4k(y₀－kx₀)]²－4(3＋2k²)[2(kx₀－y₀)²－6]＝0，整理，得(2－x)k²＋2kx₀y₀－(－3)＝0，設(shè)滿足題意的橢圓E的兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁·k₂＝－.
∵點P在圓O上，∴＝5.
∴k₁·k₂＝－＝－1.
∴兩條切線的斜率之積為常數(shù)－1