Question

已知f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)
（1）若函數(shù)的定義域為R則實數(shù)a的取值范圍是

 

．
（2）若函數(shù)的值域為R則實數(shù)a的取值范圍是

 

．
（3）若函數(shù)在（-∞，1]上有意義則實數(shù)a的取值范圍是

 

．
（4）若函數(shù)的值域為（-∞，1）則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：（1）．若函數(shù)的定義域為R，則x²-2ax+3＞0的解集是R，解可得答案，
（2）．若函數(shù)的值域為R，則x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≤0．
（3）．若函數(shù)在（-∞，1]上有意義，則y=x²-2ax+3在（-∞，1]上是單調(diào)函數(shù)，且x²-2ax+3＞0在R上恒成立．
（4）．若函數(shù)的值域為（-∞，1），則x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≥

1

2

．

解答：解：（1）若函數(shù)的定義域為R，則x²-2ax+3＞0的解集是R，
△=4a²-12＜0，解得-

3

＜a＜

3

．
（2）若函數(shù)的值域為R，
則x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≤0，
∴a≥

3

或a≤-

3

．
（3）∵f(x)=log

1

2

(x2-2ax+3)在 （-∞，1]上有意義，
則y=x²-2ax+3在（-∞，1]上是單調(diào)函數(shù)，且x²-2ax+3＞0在 上恒成立，
∴

a≥1 1-2a+3＞0

，∴

a≥1 a＜2

，
∴1≤a＜2，∴a的取值范圍為[1，2）．
（4）若函數(shù)的值域為（-∞，1）則x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²≥3-a²≥

1

2

，
∴-

10

2

≤a≤

10

2

．

點評：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．