【題目】已知函數(shù)，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)相切.

（1）求函數(shù)的值域；

（2）求證：.

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，與函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得的值，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；

（2）要證明，即證，即證，求出函數(shù)的最小值，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，由此可得出結(jié)論.

（1）切點(diǎn)，，則，.

所以，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.

函數(shù)在點(diǎn)處的切線與函數(shù)相切.

聯(lián)立，化為，

，，解得.

，所以，函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

（2）要證，即證，即證.

設(shè)，，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

，.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)的最大值為.

所以，，但是函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值不在同一處取得，

因此，.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0），F為拋物線C的焦點(diǎn)．以F為圓心，p為半徑作圓，與拋物線C在第一象限交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線y＝kx+1與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線C的切線l1，l2，設(shè)切線l1，l2的交點(diǎn)為P，求證：△PAB為直角三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年春節(jié)期間全國流行在微信群里發(fā)搶紅包，現(xiàn)假設(shè)某人將688元發(fā)成手氣紅包50個(gè)，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如下：

金額分組

頻 數(shù)

3

9

17

11

8

2

（1）求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；

（2）估計(jì)手氣紅包金額的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

（3）在這50個(gè)紅包組成的樣本中，將頻率視為概率．

①若紅包金額在區(qū)間內(nèi)為最佳運(yùn)氣手，求搶得紅包的某人恰好是最佳運(yùn)氣手的概率；

②隨機(jī)抽取手氣紅包金額在內(nèi)的兩名幸運(yùn)者，設(shè)其手氣金額分別為，，求事件“”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為、，為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，它們與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，求的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）= （a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在 上無零點(diǎn)，求a的最小值；

（Ⅲ）若對任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校近幾年來通過“書香校園”主題系列活動(dòng)，倡導(dǎo)學(xué)生整本閱讀紙質(zhì)課外書籍.下面的統(tǒng)計(jì)圖是該校2013年至2018年紙質(zhì)書人均閱讀量的情況，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是（ ）

A.從2013年到2016年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量逐年增長

B.2013年至2018年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量的中位數(shù)是46.7本

C.2013年至2018年，該校紙質(zhì)書人均閱讀量的極差是45.3本

D.2013年至2018年，該校后三年紙質(zhì)書人均閱讀量總和是前三年紙質(zhì)書人均閱讀量總和的2倍

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）證明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）試比較與的大小.

（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，

①求的取值范圍；

②證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加某個(gè)知識答題游戲節(jié)目，答題分兩輪，第一輪為“選題答題環(huán)節(jié)”第二輪為“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”.首先進(jìn)行第一輪“選題答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：每位同學(xué)各自從備選的5道不同題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行答題，答對一題加10分，答錯(cuò)一題（不答視為答錯(cuò)）減5分，已知甲能答對備選5道題中的每道題的概率都是，乙恰能答對備選5道題中的其中3道題；第一輪答題完畢后進(jìn)行第二輪“輪流坐莊答題環(huán)節(jié)”，答題規(guī)則是：先確定一人坐莊答題，若答對，繼續(xù)答下一題…，直到答錯(cuò)，則換人（換莊）答下一題…以此類推.例如若甲首先坐莊，則他答第1題，若答對繼續(xù)答第2題，如果第2題也答對，繼續(xù)答第3題，直到他答錯(cuò)則換成乙坐莊開始答下一題，…直到乙答錯(cuò)再換成甲坐莊答題，依次類推兩人共計(jì)答完20道題游戲結(jié)束，假設(shè)由第一輪答題得分期望高的同學(xué)在第二輪環(huán)節(jié)中最先開始作答，且記第道題也由該同學(xué)（最先答題的同學(xué)）作答的概率為（），其中，已知供甲乙回答的20道題中，甲，乙兩人答對其中每道題的概率都是，如果某位同學(xué)有機(jī)會答第道題且回答正確則該同學(xué)加10分，答錯(cuò)（不答視為答錯(cuò)）則減5分，甲乙答題相互獨(dú)立；兩輪答題完畢總得分高者勝出.回答下列問題

（1）請預(yù)測第二輪最先開始作答的是誰？并說明理由

（2）①求第二輪答題中，；

②求證為等比數(shù)列，并求（）的表達(dá)式.

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