Question

【題目】已知圓經(jīng)過點(diǎn)，圓的圓心在圓的內(nèi)部，且直線被圓所截得的弦長為.點(diǎn)為圓上異于的任意一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）求證: 為定值；

（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先根據(jù)條件設(shè)出圓心及半徑，然后利用弦長公式求得半徑，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心，從而求得圓的方程；（2）直線的斜率不存在可直接求出定值，直線與直線的斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，由此得到直線的方程與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量數(shù)量積公式求出定值；（3）首先求得關(guān)于的表達(dá)式，然后根據(jù)直線與圓位置關(guān)系求得的值．

試題解析：（1） 易知點(diǎn)在線段的中垂線上，故可設(shè),圓的半徑為

∵直線被圓所截得的弦長為，且

∴到直線 的距離,或.

又圓的圓心在圓的內(nèi)部，

,圓的方程.

（2）證明: 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),.

當(dāng)直線與直線的斜率存在時(shí)，設(shè),直線的方程為．

令得.直線的方程為．

令得.

,

故 為定值為．

（3）解:

設(shè),易知當(dāng)直線與圓切于第三象限時(shí)，取得最小值，

此時(shí)， 此時(shí)，，故.