【題目】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AD，DD1的中點(diǎn)．

求證：(1)EF∥平面C1BD；

(2)A1C⊥平面C1BD.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）利用三角形中位線性質(zhì)得EF∥AD1。即得EF∥BC1，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）由正方體性質(zhì)得AA1⊥BD，再根據(jù)正方形性質(zhì)得AC⊥BD，可由線面垂直判定定理得BD⊥平面AA1C，即得A1C⊥BD.類似可得A1C⊥BC1，即證得A1C⊥平面C1BD.

試題解析：證明　(1)如圖，連接AD1，

∵E，F分別是AD和DD1的中點(diǎn)，

∴EF∥AD1.

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形，

即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.

又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，

∴EF∥平面C1BD.

(2)如圖，連接AC，則AC⊥BD.

∵在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，

∴BD⊥平面AA1C，A1C平面AA1C，

∴A1C⊥BD.

同理可證A1C⊥BC1.

又BD∩BC1＝B，BD平面C1BD，BC1平面C1BD，

∴A1C⊥平面C1BD.

點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù) ，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 （ ）

A. B. C. D.

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【題目】如圖,在三棱臺中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（Ⅰ）求證：EF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

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A. (－∞，) B. (－∞，)

C. (－， ) D. (－， )

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【題目】如圖所示，在三棱錐S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，則點(diǎn)A到平面SBC的距離為(　　)

A. B.

C. D.

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【題目】某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值劃分等級如下表：

從某企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“一、二等品至少要占全部產(chǎn)品”的規(guī)定？

(2)在樣本中，按產(chǎn)品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4件，求抽取的4件產(chǎn)品中，一、二、三等品都有的概率；

(3)該企業(yè)為提高產(chǎn)品質(zhì)量，開展了“質(zhì)量提升月”活動(dòng)，活動(dòng)后再抽樣檢測，產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值近似滿足，則“質(zhì)量提升月”活動(dòng)后的質(zhì)量指標(biāo)值的均值比活動(dòng)前大約提升了多少？

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【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長交AB于點(diǎn)G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn)；

（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

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【題目】在中， ， ， ， 是的中點(diǎn)， 是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.

（1）當(dāng)時(shí)，證明： 平面；

（2）是否存在，使得三棱錐的體積是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知實(shí)數(shù)及函數(shù)

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)集合，使在上恒成立的的取值范圍記作集合，求證： 是的真子集.

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