Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnax﹣ （a≠0）．
（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）求證：對于任意正整數(shù)n，均有1+ + …+ ≥ln （e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 f′（x）= ，

∴當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，求得x=a，

由ax＞0，求得x＞0，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），

此時函數(shù)在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，

故函數(shù)f（x）的極小值為f（a）=lna2，無最大值．

當(dāng)a＜0時，由ax＞0，求得x＜0，可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?），

此時函數(shù)（﹣∞，a）上，f′（x）= ＜0，f（x）是減函數(shù)；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，

故函數(shù)f（x）的極小值為f（a）=lna2，無最大值

（2）證明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥f（1）=0，∴ ≥1﹣lnx=ln ，

取x=1，2，3…，n，則 1+ + …+ ≥ln +ln +ln +…+ln =ln ，

故要征得不等式1+ + …+ ≥ln 成立

【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值．（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx﹣ ≥0，即 ≥1﹣lnx=ln ，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．