Question

【題目】棋盤上標有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時，游戲結(jié)束.設棋子位于第站的概率為.

（1）當游戲開始時，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析，隨機變量的數(shù)學期望為；（2）證明見解析；

（3），.

【解析】

（1）根據(jù)題意得出隨機變量的可能取值有、、、，利用獨立重復試驗的概率公式計算出隨機變量在相應取值時的概率，可列出隨機變量的分布列，由此計算出隨機變量的數(shù)學期望；

（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在該等式兩邊同時減去，可得出所證等式成立；

（3）結(jié)合（1）、（2）可得，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，從而可求出和的值.

（1）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、.

，，

，.

所以，隨機變量的分布列如下表所示：

所以，隨機變量的數(shù)學期望為；

（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，其概率為 ，也可以由第站跳站得到，其概率為，所以，.

等式兩邊同時減去得；

（3）由（2）可得，，.

由（2）可知，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，

，

，

又，則，

由于若跳到第站時，自動停止游戲，故有.