【題目】如圖,等腰梯形中,,,,為中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置(平面).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
【答案】(I)見解析;(II).
【解析】
(I)先證明,再證明;(II)在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB,垂足為Q,
證明OP⊥平面ABCE,以O(shè)為原點(diǎn),OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角的余弦值.
(I)證明:在等腰梯形ABCD中,連接BD,交AE于點(diǎn)O,
∵AB||CE,AB=CE,∴四邊形ABCE為平行四邊形,∴AE=BC=AD=DE,
∴△ADE為等邊三角形,∴在等腰梯形ABCD中,,,
∴在等腰中,
∴,即BD⊥BC,
∴BD⊥AE,
翻折后可得:OP⊥AE,OB⊥AE,又,,
;
(II)解:在平面POB內(nèi)作PQ⊥OB,垂足為Q,
因?yàn)锳E⊥平面POB,∴AE⊥PQ,
因?yàn)镺B平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O
∴PQ⊥平面ABCE,∴直線PB與平面ABCE夾角為,
又因?yàn)镺P=OB,∴OP⊥OB,
∴O、Q兩點(diǎn)重合,即OP⊥平面ABCE,
以O(shè)為原點(diǎn),OE為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由題意得,各點(diǎn)坐標(biāo)為,
設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為,
則
設(shè),則y=-1,z=1,
∴,
由題意得平面PAE的一個(gè)法向量,
設(shè)二面角A-EP-C為,.
易知二面角A-EP-C為鈍角,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)E到定點(diǎn)和定直線的距離相等.
(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡C的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線與曲線C有唯一的公共點(diǎn)P,與直線相交于點(diǎn)Q,若,求證:點(diǎn)M的軌跡恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“型點(diǎn)”.
(1)若,時(shí),判斷的左焦點(diǎn)是否為“型點(diǎn)”,并說明理由;
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”;
(3)若圓內(nèi)的任意一點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”,試寫出a、b滿足的關(guān)系式,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖. 根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是( )
A.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值
B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升
C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過
D.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,,,點(diǎn),分別是棱,的中點(diǎn),點(diǎn)是的重心.
(1)證明:平面;
(2)若與平面所成的角為,且,求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且與雙曲線有相同的焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),點(diǎn)滿足,點(diǎn),若直線斜率為,求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,,,平面平面ABCD.
(1)求證:;
(2)若,且,求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線: 與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn),直線平行于,與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且與直線交于點(diǎn),證明:存在常數(shù),使得,并求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且
(1)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)在(1)的條件下,且,求滿足的所有正整數(shù);
(3)若存在正整數(shù),且,試比較與的大小,并說明理由.
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