Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間

當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

（2）見詳解

【解析】

（1） 對函數(shù)求導(dǎo)，，討論與時導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，來確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間。

（2） 將代入方程，兩式相減得，構(gòu)造

證明在定義域內(nèi)恒成立即可。

（1）

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)，由，得，由，得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。

（2）因?yàn)?/span> 是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故由（1）得，

不妨設(shè)，則和

兩式相減可得，

因?yàn)?/span>，所以，即，

要證，只需證，

因?yàn)?/span>，所以，

故只需證明

即證明 ，設(shè) ，即證明

令 ，則，

因?yàn)?/span>，所以，所以在為增函數(shù)，

所以，即。