Question

如圖所示，有一邊長(zhǎng)分別為8與5的長(zhǎng)方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個(gè)無(wú)蓋小盒，要使紙盒的容積最大，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng)及容積最大值．

Answer 1

分析：列出容積與小正方形的邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，建立實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)作為工具求解該最值問(wèn)題．

解答：解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為a，
則紙盒的容積為V=a（8-2a）（5-2a），（0＜a＜

5

2

）
∴V=4a³-26a²+40a，
∴V′=12a²-52a+40=4（a-1）（3a-10）
∴0＜a＜1，V′＞0；
1＜a＜

5

2

，V′＜0，
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，

5

2

）上單調(diào)遞減，
∴a=1時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，
∴剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為1，容積最大值為18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)模型的工具作用，考查求函數(shù)最值的導(dǎo)數(shù)思想，屬于中檔題．