如圖所示，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為6的正方形鐵板，如果從鐵板的四個(gè)角各截出去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？

 

【答案】

當(dāng)截下的正方形邊長(zhǎng)為1時(shí)，容積最大.

【解析】本題是考察導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的題目先設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)x,然后建立容積V(x)的關(guān)系式，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)等于零，確定最值一般地在應(yīng)用題中，一般考察的都是單峰函數(shù)，導(dǎo)數(shù)等于零的位置只有一個(gè)，它就是要求的最值位置

解：設(shè)截下的小正方形邊長(zhǎng)x，容器容積為

V（x），則做成長(zhǎng)方體形無(wú)蓋容器底面邊長(zhǎng)

為8-2x，高為X，于是

            V（x）=（6-2x）2 x，0<x<3

   即      V（x）=4x3 -24x2+36x，0<x<3

      有  V'（x）=12x2-48x+36

      令V'（x）=0,即令12x2-48x+36=0

      解得x1=1，x2=3（舍去）

     當(dāng)0<x<1時(shí)，V'（x）>0;當(dāng)1<x<3時(shí)，V'（x）<0

因此x=1是極大值點(diǎn)，且在區(qū)間（1,3）內(nèi)，是唯一的極值點(diǎn)，所以x=1是V（x）的最大值點(diǎn)

     即當(dāng)截下的正方形邊長(zhǎng)為1時(shí)，容積最大

 

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如圖所示，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)為6的正方形鐵板，如果從鐵板的四個(gè)角各截出去一個(gè)相同的小正方形，做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？

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作為紹興市2013年5.1勞動(dòng)節(jié)系列活動(dòng)之一的花卉展在鏡湖濕地公園舉行．現(xiàn)有一占地1800平方米的矩形地塊，中間三個(gè)矩形設(shè)計(jì)為花圃（如圖），種植有不同品種的觀賞花卉，周?chē)鷦t均是寬為1米的賞花小徑，設(shè)花圃占地面積為平方米，矩形一邊的長(zhǎng)為米(如圖所示)

（1）試將表示為的函數(shù);

（2）問(wèn)應(yīng)該如何設(shè)計(jì)矩形地塊的邊長(zhǎng)，使花圃占地面積取得最大值．

 

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作為紹興市2013年5.1勞動(dòng)節(jié)系列活動(dòng)之一的花卉展在鏡湖濕地公園舉行．現(xiàn)有一占地1800平方米的矩形地塊，中間三個(gè)矩形設(shè)計(jì)為花圃（如圖），種植有不同品種的觀賞花卉，周?chē)鷦t均是寬為1米的賞花小徑，設(shè)花圃占地面積為平方米，矩形一邊的長(zhǎng)為米(如圖所示)

（1）試將表示為的函數(shù);

（2）問(wèn)應(yīng)該如何設(shè)計(jì)矩形地塊的邊長(zhǎng)，使花圃占地面積取得最大值．

 

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