Question

【題目】現(xiàn)有m個(gè)（）實(shí)數(shù)，它們滿(mǎn)足下列條件：①，

②記這m個(gè)實(shí)數(shù)的和為，

即.

（1）若，證明： ；

（2）若m=5，滿(mǎn)足題設(shè)條件的5個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成數(shù)列.設(shè)C為所有滿(mǎn)足題設(shè)條件的數(shù)列構(gòu)成的集合.集合，求A中所有正數(shù)之和；

（3）對(duì)滿(mǎn)足題設(shè)條件的m個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)不同數(shù)列與，證明： .

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)256；(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由為等比數(shù)列可得或，當(dāng)時(shí)，數(shù)列前項(xiàng)和在各項(xiàng)取正數(shù)時(shí)取最大值，經(jīng)計(jì)算的最大值為不滿(mǎn)足題意，而當(dāng)時(shí)，同理計(jì)算的最小值為，滿(mǎn)足題意；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，而， ，共種情形，根據(jù)其規(guī)律得A中正數(shù)之和為；（3）不失一般性設(shè)使得， ， ， ，…，計(jì)算得結(jié)論成立.

試題解析：（1）證明：由題意知， ，所以或.

當(dāng)時(shí)，數(shù)列前項(xiàng)和在各項(xiàng)取正數(shù)時(shí)取最大值，所以的最大值為

.不合題意，舍去.

當(dāng)時(shí)，

.

所以， .

（2）解：若，由（I）知， .由題意知， .所以滿(mǎn)足題意的所有數(shù)列為1,2,4,8,16；-1,2,4,8,16；1，-2,4,8,16；1,2，-4,8,16；…共16個(gè).在這16個(gè)數(shù)列中，除最后一項(xiàng)外，其他各項(xiàng)正、負(fù)各取8次，求和時(shí)正負(fù)相抵.從而，A中正數(shù)之和為16×16=256.

（3）證明：設(shè)使得， ， ， ，…，則

，所以.