Question

某港口水的深度 y（米）是時(shí)間t（0≤t≤24，單位：時(shí)）的函數(shù)，記作y=f（t），下面是某日水深的數(shù)據(jù)：

t（時(shí)）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0

經(jīng)長(zhǎng)期觀察，y=f（t）的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象．
（Ⅰ）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=f（t）的近似表達(dá)式；
（Ⅱ）一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5米或5米以上時(shí)認(rèn)為是安全的（船舶停靠時(shí)，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米．如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請(qǐng)問，它至多能在港內(nèi)停留多長(zhǎng)時(shí)間（忽略進(jìn)出港所需的時(shí)間）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過讀取圖表，可以看出函數(shù)y=f（t）的周期，根據(jù)水的最大深度和最小深度聯(lián)立方程組求出A和b，則函數(shù)
y=f（t）的近似表達(dá)式可求；
（Ⅱ）由題意得到該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5（米），由y≥11.5解出一天內(nèi)水深大于等于11.5的時(shí)間段，則船從最早滿足水深到達(dá)11.5的時(shí)刻入港，從最晚滿足水深是11.5的時(shí)刻出港是安全的．

解答：解：（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)，易知函數(shù)y=f（t）的周期T=12，則ω=

2π

12

=

π

6

．
再由

A+b=13 -A+b=7

，得振幅A=3，b=10，
∴y=3sin

πt

6

+10（0≤t≤24）；
（Ⅱ）由題意，該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5（米）
∴3sin

πt

6

+10≥11.5
∴sin

πt

6

≥

1

2

，解得，2kπ+

π

6

≤

π

6

t≤2kπ+

5π

6

(k∈Z)，所以12k+1≤t≤12k+5（k∈Z），
在同一天內(nèi)，取k=0或1，
∴1≤t≤5或13≤t≤17，
∴該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，下午17時(shí)出港，在港口內(nèi)最多停留16個(gè)小時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由部分圖象確定函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式，對(duì)于平衡位置不是坐標(biāo)軸的，給出的最大值不是振幅A，對(duì)于（Ⅱ）的求解，應(yīng)明確題目的問法，屬中檔題．