Question

【題目】如圖，三棱錐，側(cè)棱，底面三角形為正三角形，邊長(zhǎng)為，頂點(diǎn)在平面上的射影為，有，且.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)使得⊥平面，如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）證線面平行，則要在平面找一線與之平行即可，顯然分析即得證，（2）求二面角可借助空間直角坐標(biāo)系將兩個(gè)平面的法向量一一求出，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式便可求解（3）存在問(wèn)題可以根據(jù)結(jié)論反推即可，容易得因?yàn)?/span>，所以與不垂直，故不存在

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，且， ，所以，

所以.

因?yàn)?/span>為正三角形，所以，

又由已知可知為平面四邊形，所以.

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）由點(diǎn)在平面上的射影為可得平面，

所以， .

以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知可知， ， ， .

平面的法向量，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

由可得

令，則，所以平面的一個(gè)法向量，

所以，

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得， ，

因?yàn)?/span>，

所以與不垂直，

所以在線段上不存在點(diǎn)使得⊥平面.