Question

【題目】已知函數(shù)，，對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)、，設(shè)，，現(xiàn)有如下命題：

①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)、，都有；

②對(duì)于任意的及任意不相等的實(shí)數(shù)、，都有；

③對(duì)于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)、，使得；

④對(duì)于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)、，使得；

其中所有的真命題的序號(hào)是_______.

Answer 1

【答案】①④

【解析】

①根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)判斷是否正確. ②通過(guò)舉反例來(lái)判斷是否正確. ③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性來(lái)判斷是否正確. ④通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性來(lái)判斷是否正確.

對(duì)于①，由于在上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性的定義可知，對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)、，都有，故①是真命題.

對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則，所以②是假命題.

對(duì)于③，若，則，即，即，令，由于，所以不是單調(diào)函數(shù).令，得.令，則由解得，所以在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)取得極小值也即是最小值，所以不滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)成立.所以③錯(cuò)誤.

對(duì)于④，若，則，即，即，令，由于，所以不是單調(diào)函數(shù).令，得.令，則，所以在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?/span>，所以滿(mǎn)足對(duì)任意實(shí)數(shù)成立.所以對(duì)于任意的，存在不相等的實(shí)數(shù)、，使得，所以④為真命題.

故答案為：①④