【題目】設(shè)橢圓,點(diǎn)為其右焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn),.

(1)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí),求線段的中點(diǎn)的軌跡方程;

(2)如圖1,點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn),求證:點(diǎn),,共線;

(3)如圖2,點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn),設(shè)直線,的斜率分別為,,,求證,成等差數(shù)列.

【答案】(1); (2)見解析; (3)見解析.

【解析】

(1)設(shè)出中點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到點(diǎn)的坐標(biāo),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程,化簡得到點(diǎn)的軌跡方程.(2)當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出直線的方程,代入橢圓橢圓方程化簡后寫出韋達(dá)定理,計(jì)算,由此證得點(diǎn),共線. 當(dāng)斜率不存在時(shí),由橢圓對稱性,易得結(jié)論成立.(3)設(shè)出的坐標(biāo),利用(2)的結(jié)果化簡的表達(dá)式,化簡得到結(jié)果為,由此證得,成等差數(shù)列.

(1),設(shè),則,在橢圓上,所以所求軌跡方程為.

(2)當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)其方程為:,

代入橢圓方程并化簡得

其中,

所以,點(diǎn),,共線,

而當(dāng)斜率不存在時(shí),由橢圓對稱性,重合,結(jié)論顯然成立,綜上點(diǎn),共線;

(3)設(shè),

由(2)知,

,,成等差數(shù)列.

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(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算該種蔬果日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表);

(2)該經(jīng)銷商某天購進(jìn)了250公斤這種蔬果,假設(shè)當(dāng)天的需求量為公斤,利潤為元.求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并結(jié)合頻率分布直方圖估計(jì)利潤不小于1750元的概率.

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【題目】如圖,在三棱錐中,已知是正三角形,平面平面,的中點(diǎn),在棱上,且.

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2)若的中點(diǎn),問上是否存在一點(diǎn),使平面?若存在,說明點(diǎn)的位置;若不存在,試說明理由.

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【題目】某校“凌云杯”籃球隊(duì)的成員來自學(xué)校高一、高二共10個(gè)班的12位同學(xué),其中高一(3)班、高二(3)各出2人,其余班級各出1人,這12人中要選6人為主力隊(duì)員,則這6人來自不同的班級的概率為_____

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【題目】現(xiàn)有一長為100碼,寬為80碼,球門寬為8碼的矩形足球運(yùn)動場地,如圖所示,其中是足球場地邊線所在的直線,球門處于所在直線的正中間位置,足球運(yùn)動員(將其看做點(diǎn))在運(yùn)動場上觀察球門的角稱為視角.

(1)當(dāng)運(yùn)動員帶球沿著邊線奔跑時(shí),設(shè)到底線的距離為碼,試求當(dāng)為何值時(shí)最大;

(2)理論研究和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明:張角越大,射門命中率就越大.現(xiàn)假定運(yùn)動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運(yùn)球,運(yùn)動到視角最大的位置即為最佳射門點(diǎn),以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求在球場區(qū)域內(nèi)射門到球門的最佳射門點(diǎn)的軌跡.

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1)求出動點(diǎn)P的軌跡對應(yīng)曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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青年組

中老年組

(1)利用直方圖估計(jì)青年組的中位數(shù)和老年組的平均數(shù);

(2)從青年組,的分?jǐn)?shù)段中,按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應(yīng)的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分?jǐn)?shù)段的概率.

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(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該地區(qū)每個(gè)農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);

(2)臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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