Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（ⅰ）求當(dāng)n∈N^*時(shí)，的最小值；
（ⅱ）當(dāng)n∈N^*時(shí)，求證：；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a₁，使得對(duì)任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（�。┫壤�用等差數(shù)列的求和公式得出Sn，再結(jié)合基本不等式求得的最小值即可；
（ⅱ）由（�。┲猄_n=n²，當(dāng)n∈N^*時(shí)，由于利用裂項(xiàng)求和的方法化簡(jiǎn)所證不等式的左邊，最后進(jìn)行放縮即得所要證不等式．
（2）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即存在實(shí)數(shù)a₁，使得對(duì)任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2，再利用不等關(guān)系求得d和實(shí)數(shù)a₁的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）（ⅰ）解：∵a₁=1，d=2，
∴，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即n=8時(shí)，上式取等號(hào)．故的最小值是16．（4分）
（ⅱ）證明：由（ⅰ）知S_n=n²，當(dāng)n∈N^*時(shí)，，（6分）==，（8分）
∵，∴．（9分）
（2）假設(shè)對(duì)?n∈N^*，關(guān)于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整數(shù)解為c_n=3n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
當(dāng)n≥2時(shí)，恒有，即，
從而．（12分）
當(dāng)時(shí)，對(duì)?n∈N^*，且n≥2時(shí)，當(dāng)正整數(shù)m＜c_n時(shí)，
有．（13分）
所以存在這樣的實(shí)數(shù)a₁符合題意且a₁的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的求和問題，題目綜合性強(qiáng)，特別是問題（2）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問題結(jié)合起來，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．