【題目】過橢圓 上一點軸作垂線,垂足為右焦點 、分別為橢圓的左頂點和上頂點,且, .

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)若動直線與橢圓交于、兩點,且以為直徑的圓恒過坐標原點.問是否存在一個定圓與動直線總相切.若存在,求出該定圓的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(2)存在

【解析】試題分析:(1)由,解得, ,,結(jié)合,即可求橢圓的方程;(2)先求得直線的斜率不存在及斜率為零時圓的方程,由此可得兩圓所過公共點為原點,當直線的斜率存在且不為零時,設(shè)直線的方程為代入橢圓方程消掉的二次方程,設(shè),由韋達定理、向量數(shù)量積可得的表達式,再根據(jù)線圓相切可得的關(guān)系式,代入上述表達式可求得,由此可得結(jié)論.

試題解析:(1)由題意得,所以 .由,解得 ,

,得, ,橢圓的方程為.

(2)假設(shè)存在這樣的圓.設(shè) .

由已知,以為直徑的圓恒過原點,即,所以.

當直線垂直于軸時, , ,所以,又,解得

不妨設(shè), , ,即直線的方程為,此時原點到直線的距離為.

當直線的斜率存在時,可設(shè)直線的方程為,解消去得方程:

,因為直線與橢圓交于 兩點,所以方程的判別式

,即,且, .

,得 ,

所以 ,整理得(滿足).

所以原點到直線的距離.綜上所述,原點到直線的距離為定值,即存在定圓總與直線相切.

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