【題目】如圖, 是圓柱的上、下底面圓的直徑, 是邊長為2的正方形, 是底面圓周上不同于兩點的一點, .

(1)求證: 平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得, ,結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,結(jié)合平面的法向量可得二面角的余弦值是

試題解析:

(1)由圓柱性質(zhì)知: 平面,

平面,∴

是底面圓的直徑, 是底面圓周上不同于兩點的一點,∴,

平面,

平面.

(2)解法1:過,垂足為,由圓柱性質(zhì)知平面平面,

平面,又過,垂足為,連接,

即為所求的二面角的平面角的補角,

, 易得 , ,

,

由(1)知,∴,

,∴,

∴所求的二面角的余弦值為.

解法2:過在平面,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,∴,∴, ,

, ,

平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,

,即,取

,

∴所求的二面角的余弦值為.

解法3:如圖,以為原點, 分別為軸, 軸,圓柱過點的母線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則

, , , ,

, , ,

設(shè)是平面的一個法向量,

, ,即,令,則,

,

設(shè)是平面的一個法向量,

, ,即,令,則, .

,

,

∴所求的二面角的余弦值為.

解法4:由(1)知可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

, ,∴,∴, ,

, , , ,

設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,

,

,

,取,

.

∴所求的二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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