精英家教網(wǎng)如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：2
OD
=
OF
+
OP
（O為原點(diǎn)）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過(guò)點(diǎn)B的直線l交雙曲線于 M、N兩點(diǎn)，問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?
CM
•
CN
為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）先根據(jù)條求出A，B，P三點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合2
OD
=
OF
+
OP
求出D的坐標(biāo)，再根據(jù)
AB
=λ
AD
(λ≠0)即可求出a和b之間的關(guān)系，進(jìn)而求出曲線的離心率；
（2）先假設(shè)存在定點(diǎn)C（0，n）使C
M
•C
N
為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1；聯(lián)立直線方程與雙曲線方程求出M，N的坐標(biāo)與k之間的關(guān)系以及k所滿足的范圍；再求出
CM
•
CN
的值結(jié)合
CM
•
CN
為常數(shù)即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）由題得B（0，-b），A（
a2
c
，0)易得P(c，
b2
a
)，P（c，
b 2
a
）
∵2O
D
=O
F
+O
P

∴D為線段FP的中點(diǎn)  （1分）
∴D（c，
b2
2a
)，又A
B
=λA
D
，
∵
AB
=λ
AD
(λ≠0)
即A、B、D共線（2分）
∴而A
B
=(-
a2
c
，-b)，A
D
=(c-
a2
c
，
b2
2a
)?，
?∴-
a2
c
•
b2
2a
-(-b)•(c-
a2
c
)=0得a=2b
∴e=
c
a
=
1+(
b
a
)2=
1+
1
4
=
5
2
（4分）?
（2）∵a=2而e=
5
2
∴b2=1
∴雙曲線方程為
x2
4
-y2=1①（5分）
∴B（0，-1）
假設(shè)存在定點(diǎn)C（0，n）使C
M
•C
N
為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1   ②（6分）
由②代入①得（1-4k2）x2+8kx-8=0
由題意得
1-4k2≠0
△=64k2+32(1-4k2)＞0
得k2＜
1
2
且k2≠
1
4

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2=
8k
4k2-1
，x1x2=
8
4k2-1
?（8分）
而C
M
•C
N
=(x1，y1-n)•(x2，y2-n)=x1x2+y1y2-n(y1+y2)+n2?
=(1+k2)x1x2-k(n+1)(x1+x2)+(n+1)2=
8(1+k2)
4k2-1
-
8k2(n+1)
4k2-1
+(n+1)2=u?
整理得：[4（n+1）2-8n-4u]k2+[8-（n+1）2+u]=0     （10分）
對(duì)滿足k2?
1
2
且k2≠
1
4
的k恒成立，
∴
4(n+1)2-8n-4u=0
8-(n+1)2+u=0
解得n=4，u=17
故存在y軸上的定點(diǎn)C（0，4），使C
M
•C
N
為常數(shù)17    （14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．其中問(wèn)題（2）是一個(gè)開放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)分別為A、B．過(guò)F2作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，交雙曲線與P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證直線PQ與雙曲線的一條漸近線垂直．
（Ⅱ）若M為PF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知雙曲線x2-
y2
3
=1，A，C分別是虛軸的上、下頂點(diǎn)，B是左頂點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于點(diǎn)D，則∠BDF的余弦值是（　　）
A、
7
7
B、
5
7
7
C、
7
14
D、
5
7
14

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”
（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”；
（3）求證：圓x2+y2=
1
2
內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（上海卷解析版） 題型：填空題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)“

（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；

（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”；

（3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：湖北省模擬題 題型：解答題

如圖，已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，動(dòng)直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2）。
（1）求k的取值范圍，并求x2-x1的最小值；
（2）記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么，k1·k2是定值嗎？證明你的結(jié)論。

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同步練習(xí)冊(cè)答案