精英家教網(wǎng)如圖，已知雙曲線x2-
y2
3
=1，A，C分別是虛軸的上、下頂點(diǎn)，B是左頂點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于點(diǎn)D，則∠BDF的余弦值是（　　）
A、
7
7
B、
5
7
7
C、
7
14
D、
5
7
14
分析：利用雙曲線的簡單性質(zhì)求出直線方程，求出三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用余弦定理求得cos∠BDF 的值．
解答：解：由題意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F(xiàn)（-c，0），
c
a
=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程為
x
-a
+
y
b
=1，即  bx-ay+ab=0，
DC的方程為 
x
-c
+ 
y
-b
=1，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由
bx - ay +ab = 0
bx +2ay + 2ab = 0 
得 D （-
4a
3
，-
b
3
），又 b=
c2- a2
=
3
 a，
∴FD=
(-c+
4
3
a)2+
b2
9
=
7a2
9
，BD=
(-a+
4
3
a)2+
b2
9
=
4
9
a2
，
三角形BDF中，由余弦定理得 a2= 
7
9
a2+
4
9
a2-2
7a2
9
•
4a2
9
cos∠BDF，
∴cos∠BDF=
7
14
，
故選 C．
點(diǎn)評：本題考查求直線方程，求兩直線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，余弦定理，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（b＞a＞0）且a∈[1，2]，它的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，左右頂點(diǎn)分別為A、B．過F2作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為T，交雙曲線與P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求證直線PQ與雙曲線的一條漸近線垂直．
（Ⅱ）若M為PF2的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，|OM|-|MT|=1，|PQ|=λ|AB|，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•上海）如圖，已知雙曲線C1：
x2
2
-y2=1，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1-C2型點(diǎn)”
（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1-C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；
（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”；
（3）求證：圓x2+y2=
1
2
內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（上海卷解析版） 題型：填空題

如圖，已知雙曲線C1：，曲線C2：|y|=|x|+1，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，若存在過點(diǎn)P的直線與C1，C2都有公共點(diǎn)，則稱P為“C1﹣C2型點(diǎn)“

（1）在正確證明C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)“時(shí)，要使用一條過該焦點(diǎn)的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗(yàn)證）；

（2）設(shè)直線y=kx與C2有公共點(diǎn)，求證|k|＞1，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”；

（3）求證：圓x2+y2=內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1﹣C2型點(diǎn)”

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北省模擬題 題型：解答題

如圖，已知雙曲線x2-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，動直線l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P1（x1，y1），P2（x2，y2）。
（1）求k的取值范圍，并求x2-x1的最小值；
（2）記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么，k1·k2是定值嗎？證明你的結(jié)論。

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