【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)試討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)記的零點(diǎn)為,的極小值點(diǎn)為,當(dāng)時,求證.
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)對函數(shù)f(x)求導(dǎo),分和a<0進(jìn)行討論,可得函數(shù)單調(diào)性;(Ⅱ)對函數(shù)g(x)求導(dǎo),分析單調(diào)性,由零點(diǎn)存在性定理可確定的零點(diǎn)即極小值點(diǎn),從而得到a與的等量關(guān)系,將等量關(guān)系代入中,利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性即可得到證明.
解:(Ⅰ) .
若,則,在上單調(diào)遞增;
若,則必有一正一負(fù)兩根,且正根為.
當(dāng),,在上單調(diào)遞增;
當(dāng),,在上單調(diào)遞減.
綜上可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ),,
所以在單調(diào)遞增.
又,,
故存在零點(diǎn),且在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,即為的極小值點(diǎn),
故.
由知,,
所以 ,
又,所以.
由(Ⅰ)可知,時,在單調(diào)遞增,
因此.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,﹣2),B(4,0),圓C經(jīng)過點(diǎn)(0,﹣1),(0,1)及(,0).斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)B.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)k=2時,過直線l上的一點(diǎn)P向圓C引一條切線,切點(diǎn)為Q,且滿足PQ=,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)M,N是圓C上任意兩個不同的點(diǎn),若以MN為直徑的圓與直線l都沒有公共點(diǎn),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司培訓(xùn)員工某項技能,培訓(xùn)有如下兩種方式:
方式一:周一到周五每天培訓(xùn)1小時,周日測試
方式二:周六一天培訓(xùn)4小時,周日測試
公司有多個班組,每個班組60人,現(xiàn)任選兩組記為甲組、乙組先培訓(xùn);甲組選方式一,乙組選方式二,并記錄每周培訓(xùn)后測試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如表:
第一周 | 第二周 | 第三周 | 第四周 | |
甲組 | 20 | 25 | 10 | 5 |
乙組 | 8 | 16 | 20 | 16 |
用方式一與方式二進(jìn)行培訓(xùn),分別估計員工受訓(xùn)的平均時間精確到,并據(jù)此判斷哪種培訓(xùn)方式效率更高?
在甲乙兩組中,從第三周培訓(xùn)后達(dá)標(biāo)的員工中采用分層抽樣的方法抽取6人,再從這6人中隨機(jī)抽取2人,求這2人中至少有1人來自甲組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,底面,△ABC是邊長為的正三角形,,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn)M,使平面?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)和極坐標(biāo)系的極點(diǎn)重合,軸非負(fù)半軸與極軸重合, 單位長度相同, 在直角坐標(biāo)系下, 曲線的參數(shù)方程為,為參數(shù)) .
(1) 寫出曲線的極坐標(biāo)方程;
(2) 直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線與直線在平面直角坐標(biāo)系中的交點(diǎn)坐標(biāo) .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,圓:,直線:,直線過點(diǎn),傾斜角為,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)寫出直線與圓的交點(diǎn)極坐標(biāo)及直線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線與圓交于,兩點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,直線與函數(shù)的圖象在處相切,設(shè),若在區(qū)間[1,2]上,不等式恒成立.則實數(shù)m( )
A. 有最大值 B. 有最大值e C. 有最小值e D. 有最小值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求與的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若與的交于點(diǎn),與交于、兩點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時,是否存在,使得和的圖象在處的切線互相平行,若存在,請給予證明,若不存在,請說明理由
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