【題目】設為數(shù)列的前項和，對任意的，都有為常數(shù)，且．

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，)，求數(shù)列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求證：數(shù)列的前項和．

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）（）；（3）證明過程見詳解.

【解析】

（1）先由題意求出；再由，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）的結果得到，，．

再由，得到進而可求出結果；

（3）先由（2）知，則,根據(jù)放縮法，與裂項相消，即可證明結論成立.

（1）證明：當時，，解得．

當時，．

即．

∵為常數(shù)，且，∴．

∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列．

（2）解：由（1）得，，．

∵，

∴，即．

∴是首項為，公差為1的等差數(shù)列．

∴，即（）．

（3）證明：由（2）知，則,

所以，

當時，，

所以

．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】經(jīng)過多年的努力，炎陵黃桃在國內(nèi)乃至國際上逐漸打開了銷路，成為炎陵部分農(nóng)民脫貧致富的好產(chǎn)品.為了更好地銷售，現(xiàn)從某村的黃桃樹上隨機摘下了100個黃桃進行測重，其質(zhì)量分布在區(qū)間內(nèi)（單位：克），統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示：

（1）按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在，的黃桃中隨機抽取5個，再從這5個黃桃中隨機抽2個，求這2個黃桃質(zhì)量至少有一個不小于400克的概率；

（2）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的黃桃樹上大約還有100000個黃桃待出售，某電商提出兩種收購方案：

A.所有黃桃均以20元/千克收購；

B.低于350克的黃桃以5元/個收購，高于或等于350克的以9元/個收購.

請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.

（參考數(shù)據(jù)：）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正實數(shù)x，y滿足等式．

（Ⅰ）試將y表示為x的函數(shù)，并求出定義域和值域；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)有零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】臨川一中實驗學校坐落在撫州火車站附近，在校區(qū)東邊（如圖），有一直徑為8米的半圓形空地，現(xiàn)計劃移植一古樹，但需要有輔助光照.半圓周上的處恰有一可旋轉光源滿足古樹生長的需要，該光源照射范圍是，點在直徑上，且.

（1）若，求的長；

（2）設，求該空地種植古樹的最大面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)某農(nóng)產(chǎn)品近幾年的產(chǎn)量統(tǒng)計如表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份代碼t

1

2

3

4

5

6

年產(chǎn)量y(萬噸)

6.6

6.7

7

7.1

7.2

7.4

（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關于的線性回歸方程；

（Ⅱ）根據(jù)線性回歸方程預測2019年該地區(qū)該農(nóng)產(chǎn)品的年產(chǎn)量.

附:對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.(參考數(shù)據(jù):，計算結果保留小數(shù)點后兩位）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了變廢為寶，節(jié)約資源，新上了一個從生活垃圾中提煉生物柴油的項目．經(jīng)測算該項目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數(shù)關系可以近似地表示為：，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的生物柴油價值為元，若該項目不獲利，政府將給予補貼．

（1）當時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損？

（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在正四棱柱中，底面邊長為，側棱長為.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值；

（3）設為截面內(nèi)-點（不包括邊界），求到面，面，面的距離平方和的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)．

(1)求k的值；

(2)設g(x)＝log4，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù).

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

（1）請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；

（2）請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；

（3）根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗多少噸標準煤？

（附：，）

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