Question

如圖，有兩條相交成

π

3

角的直線EF，MN，交點是O．一開始，甲在OE上距O點2km的A處；乙在OM距O點1km的B處．現在他們同時以2km/h的速度行走．甲沿EF的方向，乙沿NM的方向．設與OE同向的單位向量為

e1

，與OM同向的單位向量為

e2

．
（1）求

e1

，

e2

；
（2）若過2小時后，甲到達C點，乙到達D點，請用

e1

，

e2

表示

CD

；
（3）若過t小時后，甲到達G點，乙到達H點，請用

e1

，

e2

表示

GH

；
（4）什么時間兩人間距最短？

Answer 1

分析：（1）由題意結合向量的數乘的意義可得答案；
（2）若過2小時后，易得CD的位置，用

e1

，和

e2

，可表示向量

OC

和

OD

，而

CD

=

OD

-

OC

，代入可得；
（3）同（2的方法）可得；
（4）兩人間距離y=|

GH

|，代入化簡可得y=

12t2-6t+3

，由二次函數的知識可得答案．

解答：解：（1）由題意可得

e1

=

1

2

OA

，

e2

=

OB

，
（2）若過2小時后，甲到達C點，乙到達D點，
則

OC

=-2

e1

，

OD

=5

e2

，
故

CD

=

OD

-

OC

=2

e1

+5

e2

，
（3）同（2）可得：經過t小時后，甲到達G點，乙到達H點，
則

OG

=（-2t+2）

e1

，

OH

=（2t+1）

e2

，
故

GH

=

OH

-

OG

=（2t-2）

e1

+（2t+1）

e2

，
（4）由（3）可得

GH

=（2t-2）

e1

+（2t+1）

e2

，
故兩人間距離y=|

GH

|=

[(2t-2) e1 +(2t+1) e2 ]2

=

(2t-2)2+(2t+1)2+2(2t-2)(2t+1)× 1 2

=

12t2-6t+3

，
由二次函數的知識可知，當t=-

-6

2×12

=

1

4

時，
上式取到最小值

3

2

，故

1

4

時兩人間距離最短．

點評：本題考查向量的平行以及單位向量和模長的求解，屬中檔題．